Trong chương trình Toán học của trung học cơ sở cấp 2 (Lớp 7, 8, 9), việc học và nhớ rõ 7 hằng đẳng thức quan trọng là vô cùng quan trọng. Điều này giúp học sinh áp dụng chúng một cách nhanh chóng và chính xác trong các bài tập Toán.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ cực kỳ quan trọng

7 hằng đẳng thức đáng nhớ cực kỳ quan trọng
7 hằng đẳng thức đáng nhớ cực kỳ quan trọng
Công thứcBiểu thức
Bình phương của một tổng(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Bình phương của một hiệu(a−b)2=a2−2ab+b2(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
Hiệu hai bình phươnga2−b2=(a+b)(a−b)a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
Lập phương của một tổng(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Lập phương của một hiệu(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3
Tổng hai lập phươnga3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)
Hiệu hai lập phươnga3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)

Phát biểu 7 hằng đẳng thức quan trọng bằng từ ngữ

  • Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai
  • Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai.
  • Hiệu của hai bình phương bằng tích của tổng hai số với hiệu hai số.
  • Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương của số thứ hai cộng với lập phương của số thứ hai.
  • Lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất trừ ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương của số thứ hai trừ đi lập phương của số thứ hai.
  • Tổng hai lập phương bằng tích giữa tổng hai số với bình phương thiếu của một hiệu.
  • Hiệu của hai lập phương bằng tích giữa hiệu hai số với bình phương thiếu của một tổng.
Xem thêm:  Bảng quy đổi cân nặng từ Tấn, Tạ, Yến, Kg... đầy đủ nhất

1. Bình phương của một tổng

(a + b)² = a² + 2ab + b²

  • Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai

2. Bình phương của một hiệu

(a – b)² = a² – 2ab + b²

  • Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

3. Hiệu hai bình phương

a² – b² = (a – b)(a + b)

  • Hiệu hai bình phương của hai số bằng tích của tổng hai số với hiệu hai số.

4. Lập phương của một tổng

(a + b)³ = A³ + 3a²b + 3ab² + b³

  • Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương của số thứ hai cộng với lập phương của số thứ hai.

5. Lập phương của một hiệu

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai cộng với

  • Lấy hai số, nhân số thứ nhất với bình phương của số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.
Xem thêm:  Công thức tính đường chéo hình vuông - Bài tập, ví dụ

6. Tổng hai lập phương

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )

  • Tổng của hai lập phương của hai số được tính bằng cách nhân tổng của hai số đó với bình phương số thứ nhất trừ đi tích của hai số đó.

7. Hiệu hai lập phương

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

  • Hiệu của hai lập phương của hai số là kết quả của việc nhân hiệu của hai số đó với bình phương số thứ nhất của tổng của chúng.

Hằng đẳng thức mở rộng

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

( a + b – c )² = a² + b² + c² + 2ab – 2ac – 2bc

( a – b – c )² = a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

a³ + b³ = ( a + b )³ – 3ab( a + b)

a³ – b³ = ( a – b )³ + 3ab( a – b )

( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3( a + b )( a + c )( b + c )

a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ac )

( a – b )³ + ( b – c )³ + ( c – a )³ = 3( a – b )( b – c )( c – a )

( a + b )( b + c )( c + a ) – 8abc = a( b – c )² + b( c – a )² + c( a – b )²

( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) – abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

Các dạng bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ

  • Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.
  • Dạng 2: Chứng minh biểu thức không thay đổi theo biến.
  • Dạng 3: Sử dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức.
  • Dạng 4: Chứng minh sự bằng nhau của biểu thức.
  • Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức.
  • Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
  • Dạng 7: Tìm giá trị của x.
Xem thêm:  Bất đẳng thức cosi 2 số, 3 số, 4 số lớp 8, 9, 10 - Chứng minh

Bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ

  • Ví dụ 1:

Với a và b là hai số bất kì, tính kết quả của phép tính (a + b)(a + b).

Lời giải:

(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2

  • Ví dụ 2:

Tính [a + (-b)]2 (với a, b là những số tùy ý).

Lời giải:

Ta vận dụng hằng đẳng thức 1 ta có sau đây

[ a + (-b)]² = a² + 2.a.(-b) + ( -b)² = a² – 2ab + b² .

  • Ví dụ 3:

Tìm giá trị của x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải:

x² (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x² (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Lời kết

Trên đây là toàn bộ kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 7,8,9 trong chương trình trung học cơ sở mà bạn đọc cần biết để áp dụng bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập chi tiết nhất.

Nguồn tham khảo: bierelarue.com.vn